ЗУБЫ. Зубы позвоночных по своему строению и развитию совершенно сходны с плакоид ными чешуями, покрывающими всю кожу акуловых рыб. Поскольку вся ротовая полость, а частью и полость глотки, выстлана эктодермальным эпителием, типичная пла коидная… …
ТУБЕРКУЛЕЗ ЛЕГКИХ - ТУБЕРКУЛЕЗ ЛЕГКИХ. Содержание: I. Патологическая анатомия...........110 II. Классификация легочного туберкулеза.... 124 III. Клиника.....................128 IV. Диагностика..................160 V. Прогноз..................... 190 VІ. Лечение … Большая медицинская энциклопедия
ОТРАВЛЕНИЕ - ОТРАВЛЕНИЕ. Под отравлением разумеют «расстройства функций животн. организма, вызываемые экзогенными или эндогенными, химически или физико химически действующими веществами, к рые в отношении качества, количества или концентрации чужды… … Большая медицинская энциклопедия
Клубеньковые бактерии бобовых - Данные палеонтологии свидетельствуют о том, что самыми древними бобовыми культурами, имевшими клубеньки, были некоторые растения, принадлежащие к группе Eucaesalpinioideae. У современных видов бобовых растений клубеньки обнаружены … Биологическая энциклопедия
Список серий мультсериала «Лунтик» - В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете … Википедия
РАСТЕНИЕ И СРЕДА - Жизнь растения, как и всякого другого живого организма, представляет сложную совокупность взаимосвязанных процессов; наиболее существенный из них, как известно, обмен веществ с окружающей средой. Среда является тем источником, откуда… … Биологическая энциклопедия
Список серий сериала «Лунтик» - Основная статья: Приключения Лунтика и его друзей Содержание 1 Количество серий 2 Список серий мультсериала Лунтик и его друзья … Википедия
Болезни плодовых деревьев - Плодовые деревья благодаря постоянным заботам о них человека должны достигать гораздо старшего возраста, чем некультурные родичи их, если бы не противодействующие влияния многих условий самой культуры, а именно требования, предъявляемые нами… …
Валка леса - В. леса, или извлечение лесного дохода в виде древесины и коры, может быть выполнена двояким образом: выкапыванием или выкорчевыванием целых деревьев, т. е. стволов вместе с корнями, или же отдельно, по частям сперва валятся, или снимаются с… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона
Грош - (польск. grosz, от нем. Groschen, от лат. grossus (dēnārius) «толстый денарий») монета различных стран и времён. Содержание 1 Появление гроша … Википедия
Монеты США - 20 долларов Сент Годенса самая красивая и дорогая монета США Монеты США монеты, чеканящиеся на Монетном дворе США. Выпускаются с 1792 года … Википедия
Книги
- Основные причины выпадения волос у женщин , Алексей Мичман , Проблемой выпадения волос в какой-то момент жизни страдает шесть из десяти женщин. Потеря волос может происходить по ряду причин, таких как наследственность, гормональные изменения в… Категория:
Потеря корней и посторонние корни при решении уравнений
МОУ "СОШ №2 с углубленным изучением отдельных предметов" города Всеволожска. Исследовательскую работу подготовил ученик 11 Б класса: Васильев Василий. Руководитель проекта: Егорова Людмила Алексеевна.
Уравнение Для начала рассмотрим различные способы решения данного уравнения sinx+cosx =- 1
Решение №1 sinx+cosx =-1 я У х 0 1 sin(x+)=- 1 sin(x+)=- x+ =- +2 x+ = +2 + x=- +2 x= +2 Ответ: +2
Решение №2 sinx+cosx =- 1 я Ответ: +2 у х 0 1 2sin cos + - + + = 0 sin cos + = 0 cos (cos + sin)= 0 cos =0 cos + sin =1 = + m tg =-1 = + m =- + x=- +2 x= +2
Решение №3 я у х 0 1 sinx+cosx =- 1 2 = x= x+ x sin2x=0 2x= x= Ответ:
sinx+cosx =-1 Решение №4 я у х 0 1 + =- 1 2tg +1- =-1- 2tg =- 2 =- + n x= - + 2 n Ответ: - + 2 n
Сверим решения Верные решения Разберемся, в каких случаях могут появиться посторонние корни и почему №2 Ответ: +2 №3 Ответ: №4 Ответ: + 2 n №1 Ответ: +2
Проверка решения Надо ли делать проверку? Проверять корни на всякий случай, для надежности? Это конечно полезно, когда подставить просто, но математики народ рациональный и лишних действий не делают. Рассмотрим разные случаи и вспомним, когда проверка действительно нужна.
1. Простейшие готовые формулы c osx =a x=a =a s inx =a t gx =a В тех случаях, когда корни найдены по простейшим, готовым формулам, то проверку можно не делать. Тем не менее, при использовании таких формул следует помнить условия, при которых можно их применять. К примеру, формулу = можно применять при условии a 0 , -4ac 0 А грубейшей ошибкой считается ответ x= arccos2+2 для уравнения cosx =2 , так как формулой x= arccos a +2 можно пользоваться только для корней уравнения cosx =a , где | a | 1
2 . Преобразования Чаще при решении уравнений приходится проводить много преобразований. Если уравнение заменить новым, имеющим все корни предыдущего, и преобразовывать его так, чтобы не произошло потери или приобретения корней, то такие уравнения называются равносильными. 1. При переносе составляющих уравнения из одной части в другую. 2 . При прибавлении к обеим частям одного и того же числа. 3 . При умножении обеих частей уравнения на одно и то же не равное нулю число. 4 . При применении тождеств, верных на множестве всех действительных чисел. При этом проверка не обязательна!
Однако, не всякое уравнение можно решить равносильными преобразованиями. Чаще приходится применять неравносильные преобразования. Часто такие преобразования основаны на пользовании формул, верных не при всех действительных значениях. При этом, в частности, меняется область определения уравнения. Такая ошибка находится в решении №4. Разберем ошибку, но прежде вновь посмотрим на способ решения №4. sinx+cosx=-1 + =-1 2tg +1- =-1- 2tg =-2 =- + n x = - + 2 n Ошибка кроется в формуле sin2x= Этой формулой пользоваться можно, только следует дополнительно проверить, являются ли корнями числа вида + при которых не определен tg . Теперь ясно, что в решении потеря корней. Доведем его до конца.
Решение №4 я у х 0 1 Проверим числа = + n подстановкой: x= + 2 n sin(+ 2 n)+ cos (+ 2 n)=sin + cos =0+(-1)=- 1 Значит x= +2 n является корнем уравнения Ответ: +2 sinx+cosx =-1 + =- 1 2tg +1- =-1- 2tg =- 2 =- + n x= - + 2 n
Мы рассмотрели один из способов потери корней, в математике их великое множество, поэтому нужно решать внимательно, помня все правила. Также, как можно потерять корни уравнения, можно и приобрести лишние в ходе его решение. Рассмотрим решение №3 в котором допущена такая ошибка.
Решение №3 я у х 0 1 2 2 и лишние корни! Посторонние корни могли появиться, когда обе части уравнения были возведены в квадрат. В этом случае необходимо сделать проверку. При n=2k имеем sin k+cos k=-1; cos k=-1 при k=2m-1 , Тогда n=2(2m+1)=4m+2 , x= = +2 m , Ответ: +2 При n=2k+1 имеем sin +cos =- 1 sin(+ k)+ cos (+ k)=- 1 cos k-sin k=- 1 cos k=-1 при k=2m+1 n=2(2m+1)+ 1=2m+3 x= (4m+3)= +2 m=- +2 sinx+cosx =- 1 = x= x+ x sin2x=0 2x= x=
Итак, мы рассмотрели пару возможных случаев, коих великое множество. Старайтесь не тратить свое время зря и не совершать глупых ошибок.
§ 1. ПОТЕРЯННЫЕ И ПОСТОРОННИЕ КОРНИ ПРИ РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЙ (НА ПРИМЕРАХ)
СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ
1. В двух теоремах § 3 главы VII говорилось о том, какие действия над уравнениями не нарушают их равносильности.
2. Рассмотрим теперь такие операции над уравнениями, которые могут привести к новому уравнению, неравносильному исходному уравнению. Вместо общих рассуждений ограничимся рассмотрением лишь конкретных примеров.
3. Пример 1. Дано уравнение Раскроем скобки в данном уравнении, перенесем все члены в левую часть и решим квадратное уравнение. Его корнями являются
Если сократить обе части уравнения на общий множитель то получится уравнение которое неравносильно первоначальному, так как имеет всего один корень
Таким образом, сокращение обеих частей уравнения на множитель, содержащий неизвестное, может привести к потере корней уравнения.
4. Пример 2. Дано уравнение Данное уравнение имеет единственный корень Возведем обе части этого уравнения в квадрат, получим Решая это уравнение, найдем два корня:
Усматриваем, что новое уравнение неравносильно исходному уравнению Корень является корнем уравнения которое после возведения в квадрат обеих частей приводит к уравнению
5. Посторонние корни могут появиться также при умножении обеих частей уравнения на множитель, содержащий неизвестное, если этот множитель при действительных значениях х обращается в нуль.
Пример 3. Если обе части уравнения умножим на то получим новое уравнение которое после переноса члена из правой части в левую и разложения на множители дает уравнение откуда либо
Корень не удовлетворяет уравнению которое имеет единственный корень
Отсюда делаем вывод: при возведении обеих частей уравнения в квадрат (вообще в четную степень), а также при умножении на множитель, содержащий неизвестное и обращающийся в нуль при действительных значениях неизвестного, могут появляться посторонние корни.
Все соображения, высказанные здесь по вопросу о потере и появлении посторонних корней уравнения, в одинаковой мере относятся к любым уравнениям (алгебраическим, тригонометрическим и др.).
6. Уравнение называется алгебраическим, если в нем над неизвестным выполняются только алгебраические операции - сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня с натуральным показателем (причем число таких операций конечное).
Так, например, уравнения
являются алгебраическими, а уравнения
Может привести к появлению так называемых посторонних корней. В этой статье мы, во-первых, детально разберем, что такое посторонние корни . Во-вторых, поговорим о причинах их возникновения. И в-третьих, на примерах рассмотрим основные способы отсеивания посторонних корней, то есть, проверки корней на предмет наличия среди них посторонних с целью исключения их из ответа.
Посторонние корни уравнения, определение, примеры
В школьных учебниках по алгебре не дается определение постороннего корня. Там представление о постороннем корне формируется путем описания следующей ситуации: при помощи некоторых преобразований уравнения осуществляется переход от исходного уравнения к уравнению-следствию, находятся корни полученного уравнения-следствия, и осуществляется проверка найденных корней подстановкой в исходное уравнение, которая показывает, что некоторые из найденных корней не являются корнями исходного уравнения, эти корни называют посторонними корнями для исходного уравнения .
Отталкиваясь от этой базы, для себя можно принять такое определение постороннего корня:
Определение
Посторонние корни – это корни полученного в результате проведения преобразований уравнения-следствия, не являющиеся корнями исходного уравнения.
Приведем пример. Рассмотрим уравнение и следствие этого уравнения x·(x−1)=0 , полученное в результате замены выражения тождественно равным ему выражением x·(x−1) . Исходное уравнение имеет единственный корень 1 . Уравнение, полученное в результате проведения преобразования, имеет два корня 0 и 1 . Значит 0 – это посторонний корень для исходного уравнения.
Причины возможного появления посторонних корней
Если для получения уравнения-следствия не использовать никакие «экзотические» преобразования, а использовать только основные преобразования уравнений , то посторонние корни могут возникнуть лишь по двум причинам:
- из-за расширения ОДЗ и
- из-за возведения обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень.
Здесь стоит напомнить, что расширение ОДЗ в результате преобразования уравнения в основном происходит
- При сокращении дробей;
- При замене нулем произведения с одним или несколькими нулевыми множителями;
- При замене нулем дроби с нулевым числителем;
- При использовании некоторых свойств степеней, корней, логарифмов;
- При использовании некоторых тригонометрических формул;
- При умножении обеих частей уравнения на одно и то же выражение, обращающееся в нуль на ОДЗ для этого уравнения;
- При освобождении в процессе решения от знаков логарифмов.
Пример из предыдущего пункта статьи иллюстрирует появление постороннего корня из-за расширения ОДЗ, которое имеет место при переходе от уравнения к уравнению-следствию x·(x−1)=0 . ОДЗ для исходного уравнения есть множество всех действительных чисел, за исключением нуля, ОДЗ для полученного уравнения есть множество R, то есть, ОДЗ расширяется числом нуль. Это число в итоге и оказывается посторонним корнем.
Также приведем пример появления постороннего корня из-за возведения обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень. Иррациональное уравнение имеет единственный корень 4
, а следствие этого уравнения, полученное из него путем возведения обеих частей уравнения в квадрат, то есть, уравнение 
, имеет два корня 1
и 4
. Из этого видно, что возведение обеих частей уравнения в квадрат привело к появлению постороннего корня для исходного уравнения.
Заметим, что расширение ОДЗ и возведение обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень, не всегда приводит к появлению посторонних корней. Например, при переходе от уравнения к уравнению-следствию x=2 ОДЗ расширяется с множества всех неотрицательных чисел до множества всех действительных чисел, но посторонние корни не появляются. 2 – это единственный корень как первого, так и второго уравнения. Также не происходит появления посторонних корней при переходе от уравнения к уравнению-следствию . Единственным корнем и первого, и второго уравнения является x=16 . Именно поэтому мы говорим не о причинах появления посторонних корней, а о причинах возможного появления посторонних корней.
Что такое отсеивание посторонних корней?
Термин «отсеивание посторонних корней» лишь с натяжкой можно назвать устоявшимся, он встречается далеко не во всех учебниках алгебры, но является интуитивно понятным, из-за чего обычно и используется. Что понимают под отсеиванием посторонних корней, становится понятно из следующей фразы: «… проверка – обязательный этап решения уравнения, который поможет обнаружить посторонние корни, если они есть, и отбросить их (обычно говорят «отсеять»)» .
Таким образом,
Определение
Отсеивание посторонних корней – это обнаружение и отбрасывание посторонних корней.
Теперь можно переходить к способам отсеивания посторонних корней.
Способы отсеивания посторонних корней
Проверка подстановкой
Основной способ отсеивания посторонних корней – это проверка подстановкой. Он позволяет отсеять посторонние корни, которые могли возникнуть и по причине расширения ОДЗ, и по причине возведения обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень.
Проверка подстановкой состоит в следующем: найденные корни уравнения-следствия по очереди подставляются в исходное уравнение или в любое равносильное ему уравнение, те из них, которые дают верное числовое равенство, являются корнями исходного уравнения, а те, которые дают неверное числовое равенство или выражение, не имеющее смысла, являются посторонними корнями для исходного уравнения.
Покажем на примере, как проводится отсеивание посторонних корней через подстановку в исходное уравнение.
В некоторых случаях отсеивание посторонних корней целесообразнее проводить другими способами. Это относится в основном к тем случаям, когда проверка подстановкой связана со значительными вычислительными трудностями или когда стандартный способ решения уравнений какого-то определенного вида предполагает другой проверки (например, отсеивание посторонних корней при решении дробно-рациональных уравнений проводится по условию не равенства нулю знаменателя дроби). Разберем альтернативные способы отсеивания посторонних корней.
По ОДЗ
В отличие от проверки подстановкой, отсеивание посторонних корней по ОДЗ уместно не всегда. Дело в том, что этот способ позволяет отсеивать лишь посторонние корни, возникающие по причине расширения ОДЗ, и он не гарантирует отсеивание посторонних корней, которые могли возникнуть по другим причинам, например, из-за возведения обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень. Более того, не всегда просто отыскать ОДЗ для решаемого уравнения. Тем не менее, способ отсеивания посторонних корней по ОДЗ стоит держать на вооружении, так как часто его использование требует меньших вычислительных работ, чем использование других способов.
Отсеивание посторонних корней по ОДЗ проводится следующим образом: все найденные корни уравнения-следствия проверяются на предмет принадлежности области допустимых значений переменной для исходного уравнения или любого равносильного ему уравнения, те из них, которые принадлежат ОДЗ, являются корнями исходного уравнения, а те из них, которые не принадлежат ОДЗ, являются посторонними корнями для исходного уравнения.
Анализ приведенной информации приводит к выводу, что отсеивание посторонних корней по ОДЗ целесообразно проводить, если единовременно:
- легко находится ОДЗ для исходного уравнения,
- посторонние корни могли возникнуть только по причине расширения ОДЗ,
- проверка подстановкой связана со значительными вычислительными сложностями.
Покажем, как проводится отсеивание посторонних корней, на практике.
По условиям ОДЗ
Как мы сказали в предыдущем пункте, если посторонние корни могли возникнуть лишь по причине расширения ОДЗ, то их можно отсеять по ОДЗ для исходного уравнения. Но не всегда просто найти ОДЗ в виде числового множества. В таких случаях можно проводить отсеивание посторонних корней не по ОДЗ, а по условиям, определяющим ОДЗ. Разъясним, как проводится отсеивание посторонних корней по условиям ОДЗ.
Найденные корни по очереди подставляются в условия, определяющие ОДЗ для исходного уравнения или любого равносильного ему уравнения. Те из них, которые удовлетворяют всем условиям, являются корнями уравнения. А те из них, которые не удовлетворяют хотя бы одному условию или дают не имеющее смысла выражение, являются посторонними корнями для исходного уравнения.
Приведем пример отсеивания посторонних корней по условиям ОДЗ.
Отсеивание посторонних корней, возникающих из-за возведения обеих частей уравнения в четную степень
Понятно, что отсеивание посторонних корней, возникающих из-за возведения обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень, можно осуществить путем подстановки в исходное уравнение или в любое равносильное ему уравнение. Но такая проверка может быть связана со значительными вычислительными трудностями. На этот случай стоит знать альтернативный способ отсеивания посторонних корней, о котором мы сейчас и поговорим.
Отсеивание посторонних корней, которые могут возникнуть при возведении в одну и ту же четную степень обеих частей иррациональных уравнений вида 
, где n
– некоторое четное число, можно проводить по условию g(x)≥0
. Это вытекает из определения корня четной степени: корень четной степени n
есть неотрицательное число, n
-ая степень которого равна подкоренному числу, откуда 
. Таким образом, озвученный подход представляет собой своего рода симбиоз метода возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень и метода решения иррациональных уравнений по определению корня. То есть, уравнение , где n
–четное число, решается методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень, а отсеивание посторонних корней выполняется по условию g(x)≥0
, взятому из метода решения иррациональных уравнений по определению корня.
Тема тригонометрических уравнений начинается со школьной лекции, которая строится в виде эвристической беседы. На лекции рассматривается теоретический материал и образцы решения всех типовых задач по плану:
- Простейшие тригонометрические уравнения.
- Основные методы решения тригонометрических уравнений.
- Однородные уравнения.
На следующих уроках начинается самостоятельная отработка навыков, основанная на применении принципа совместной деятельности учителя и ученика. Сначала устанавливаются цели для учащихся, т.е. определяется, кто хочет знать не более того, что требуется государственным стандартом, а кто готов заниматься больше.
Итоговая диагностика создается с учетом уровневой дифференциации, что позволяет учащимся осознанно определять тот минимум знаний, который необходим для получения оценки “3”. Исходя из этого, отбираются разноуровневые материалы для диагностики знаний учащихся. Такая работа позволяет осуществить индивидуальный подход к учащимся, включить каждого в осознанную учебную деятельность, формировать навыки самоорганизованности и самообучения, обеспечивать переход к активному, самостоятельному мышлению.
Семинар проводится после отработки основных навыков решения тригонометрических уравнений. За несколько уроков до семинара ученикам даются вопросы, которые будут рассматриваться на нем.
Семинар состоит из трех частей.
1. Во вводной части рассматривается весь теоретический материал, включая знакомство с проблемами, которые возникнут при решении сложных уравнений.
2. Во второй части рассматриваются решение уравнений вида:
- а cosx + bsinx = c.
- a (sinx + cosx) + bsin2x + c = 0.
- уравнения, решаемые через понижение степени.
В этих уравнениях применяются универсальная подстановка, формулы понижения степени, метод вспомогательного аргумента.
3. В третьей части рассматриваются проблемы потери корней и приобретение посторонних корней. Показывается, как надо отбирать корни.
Ученики работают в группах. Для решения примеров вызываются хорошо подготовленные ребята, которые могут показать и объяснить материал.
Семинар рассчитан на хорошо подготовленного ученика, т.к. на нем рассматриваются вопросы несколько выходящие за рамки программного материала. В него включены уравнения более сложного вида, и особо рассматриваются проблемы, возникающие при решении сложных тригонометрических уравнений.
Семинар проводился для учеников 10 – 11 классов. Каждый ученик получил возможность расширить и углубить свои знания по этой теме, сравнить уровень своих знаний не только с требованиями, предъявляемыми к выпускнику школы, но и с требованиями предъявляемыми поступающим в В.У.З.
СЕМИНАР
Тема: "Решение тригонометрических уравнений"
Цели:
- Обобщить знания по решению тригонометрических уравнений всех типов.
- Заострить внимание на проблемах: потеря корней; посторонние корни; отбор корней.
ХОД УРОКА.
I. Вводная часть
1. Основные методы решения тригонометрических уравнений
- Разложение на множители.
- Введение новой переменной.
- Функционально-графический метод.
2. Некоторые типы тригонометрических уравнений.
- Уравнения, сводящиеся к квадратным уравнениям, относительно cos х = t, sin х = t.
Asin 2 x + Bcosx + C = 0; Acos 2 x + Вsinx + C = 0.
Решаются методом введения новой переменной.
- Однородные уравнения первой и второй степени
Уравнение первой степени: Asinx + Bcosx = 0 разделим на cos x, получим Atg x + B = 0
Уравнение второй степени: Asin 2 x + Bsinx cosx + Сcos 2 x = 0 разделим на cos 2 x, получим Atg 2 x + Btgx + C = 0
Решаются методом разложения на множители и методом введения новой переменной.
Применимы все методы.
- Понижение степени:
1). Аcos2x + Вcos 2 x = C; Acos2x + Bsin 2 x = C.
Решаются методом разложения на множители.
2). Asin2x + Bsin 2 x = C; Asin2x + Bcos 2 x = C.
- Уравнение вида: A(sinx + cosx) + Bsin2x + C = 0.
Сводятся к квадратным относительно t = sinx + cosx; sin2x = t 2 – 1.
3. Формулы.
х + 2 n; Проверка обязательна!
- Понижение степени: cos 2 x = (1 + cos2x): 2; sin 2 x = (1 – cos 2x): 2
- Метод вспомогательного аргумента.
Acosx + Bsinx заменим на Csin (x + ), где sin = а/С; cos= в/С;
– вспомогательный аргумент.
4. Правила.
- Увидел квадрат – понижай степень.
- Увидел произведение – делай сумму.
- Увидел сумму – делай произведение.
5. Потеря корней, лишние корни.
- Потеря корней: делим на g(х); опасные формулы (универсальная подстановка). Этими операциями сужаем область определения.
- Лишние корни: возводим в четную степень; умножаем на g(х) (избавляемся от знаменателя). Этими операциями расширяем область определения.
II. Примеры тригонометрических уравнений
1. Уравнения вида Asinx + Bcosx = C
1) Универсальная подстановка.О.Д.З. х – любое.
3 sin 2x + cos 2x + 1= 0.
tgx = u. х /2 + n;
u = – 1/3.
tg x = –1/3, x = arctg (–1/3) + k, k Z.
Проверка: 3sin( + 2n) + cos( + 2n) + 1= 3 sin + cos + 1 = 0 – 1 + 1 = 0.
х = /2 + n, n э Z. Является корнем уравнения.
Ответ: х = arctg(–1/3) + k, k Z. x = /2 + n, n Z.
2) Функционально-графический метод. О.Д.З. х – любое.
Sinx – cosx = 1
Sinx = cosx + 1.
Построим графики функций: y = sinx, y = cosx + 1.
Ответ: х = /2 + 2 n, Z ; x = + 2k, k Z.
3) Введение вспомогательного аргумента. О.Д.З.: х – любое.
8cosx + 15 sinx = 17.
8/17 cosx + 15/17 sinx = 1, т.к. (8/17) 2 + (15/17) 2 = 1, то существует такое , что sin = 8/17,
cos = 15/17, значит sin cosx + sinx cos = 1; = arcsin 8/17.
Ответ: x = /2 + 2n – , x = /2 + 2n – arcsin 8/17, n Z.
2. Понижение порядка: Acos2x + Bsin2x = C. Acos2x + Bcos2x = C.
1). sin 2 3x + sin 2 4x + sin 2 6x + sin 2 7x = 2. О.Д.З.: х – любое.
1 – cos 6x + 1 – cos 8x + 1 – cos 12x + 1 – cos 14x = 4
cos 6x + cos 8x + cos 12x + cos 14x = 0
2cos10x cos 4x + 2cos 10x cos 2x = 0
2cos 10x(cos 4x + cos 2x) = 0
2cos10x 2cos3x cosx = 0
cos10x = 0, cos3x = 0, cosx = 0.
Ответ: х = /20 + n/10, n Z. x = /6 + k/3, k Z, x = /2 + m, m Z.
| При | k = 1 и m = 0 k = 4 и m = 1. |
серии совпадают. |
3. Сведение к однородному. Asin2x + Bsin 2 x = C, Asin2x + Bcos 2 x = C.
1) 5 sin 2 x + 3 sinx cosx + 6 cos 2 x = 5. ОДЗ: х – любое.
5 sin 2 х + 3 sinx cosx + 6cos 2 х – 5 sin 2 х – 5 cos 2
х = 0
3 sinxcosx + cos 2 х
= 0 (1) делить на cos 2 х нельзя, так как
теряем корни.
cos 2 х = 0 удовлетворяет уравнению.
cosx ( 3 sinx +
cosx) = 0
cosx = 0, 3 sinx
+ cosx = 0.
х = /2 + k, k Z. tgx = –1/3 , x = –/6 + n, n Z.
Ответ: х = /2 + k, k Z. , x = –/6 + n, n Z
4. Уравнение вида: А(sinx + cosx) + В sin2x + С = 0.
1). 4 + 2sin2x – 5(sinx + cosx) = 0. О.Д.З.: х – любое.
sinx + cosx = t, sin2x = t 2 – 1.
4 + 2t 2 – 2 – 5t = 0, | t | <
2
2 t 2 – 5t + 2 = 0. t 1 = 2, t 2 = Ѕ.
sinx + cosx = Ѕ. cosx = sin(x + /2),
sinx +sin(x + /2)
= 1/2,
2sin(x + /4)
cos(–/4) = 1/2
sin(x + /4) =
1/22;
x +/4 = (–1) k arcsin(1/2 O 2) + k, k
Z.
Ответ: х = (–1) k arcsin(1/22) – /4 + k, k Z.
5. Разложение на множители.
1) cos 2 х – 2 cosx = 4 sinx – sin2x
cosx(cosx – 2) = 2 sinx (2 – cosx),
(cosx – 2)(cosx + 2 sinx) = 0.
1) сosx = 2, корней нет.
2) сosx + 2 sinx = 0
2tgx + 1 = 0
Ответ: x = arctg(1/2) + n, n Z.
III. Проблемы возникающие при решении тригонометрических уравнений
1. Потеря корней: делим на g(х); применяем опасные формулы.
1) Найдите ошибку.
1 – сosx = sinx *sinx/2,
1 – сosx = 2sin 2 х/2 формула.
2 sin 2 х/2 = 2 sinx/2* сosx/2* sinx /2 разделим на 2 sin 2 х/2,
1 = сosx/2
х/2 = 2 n,
x = 4n, n " Z.
Потеряли корни sinx/2 = 0, х = 2k, k Z.
Правильное решение: 2sin 2 х/2(1 – сosx /2) = 0.
| sin 2 х/2 = 0 x = 2k, k Z. |
1 – сosx /2 = 0 x = 4p n, n Z. |
2. Посторонние корни: освобождаемся от знаменателя; возводим в четную степень.
1). (sin4x – sin2x – сos3x + 2sinx – 1) : (2sin2x – 3) = 0. О.Д.З.: sin2x 3 / 2.
2сos3х sinx – сos3x + 2sinx – 1 = 0
(сos3x + 1)(2sinx – 1) = 0
| 1). сos3x + 1 = 0 х = /3 + 2n/3, n Z. |
2). 2sinx – 1 = 0 x = (–1) k /6 + k, k Z. |
| I. х = /3 + 2n/3 1. n = 0 sin 2 /3 = 3 / 2 не удовлетворяют. О.Д.З. 2. n = 1 3. n = 2 |
II. x = (–1) k /6 + k, k Z 1. k = 0 sin 2/6 = 3 / 2 не удовлетворяют О.Д.З. 2. k = 1 sin 2*5/6 = –3 / 2 удовлетворяют О.Д.З. |
Ответ: х = + 2k, x = 5/3 + 2k, x = 5/6 + 2k, k Z. t = 5 sin3x = 0
Загрузка...